demonstrate 的 blog

看了半天 Halmos 最后一部分关于 topology 和 measure theory 的内容
感觉十分艰深，几乎寸步难行，遂准被放弃了，这里先把他关于 Locally Compact Space 的理论思路小结一下
以后看懂了什么叫 topological group 再来继续这部分内容。

这部分研究的空间多为 locally compact 的 Hausdorff 空间，由于 locally compact
可以进行 one-point compactification，因此在紧化的空间上我们的 T_2 空间可以成为 T_4，
原空间因此是 T_3 的。利用这个性质，可以用 Urysohn 引理构造任两个不交闭集上常值的
连续函数，也可以用 Tietze 扩张定理，另外，T_4 加上 σ-局部有限基可以将此 topological space
度量化（条件更强的是 T_3 分离公理+ C_2 可数公理）。总而言之，紧性带来的诸多好处都可以利用上了
这部分内容和 general topology 有关系。之后建立的 Borel (measurable) set 和 Baire (measurable) set
里面我们会发现 topology 和 measurability 的一些 interaction。

将一个空间的 Borel sets 认为是由该空间上全体紧集 C 生成的 σ-algebra S，其中所有的开集记为 U
我们可以考虑这些集族的一个子集族，那就是把 C 里面的 G_δ 集合 C_0（可以写作可列开集的交）取出，
这时也能生成一个 σ-algebra，记为 S_0，同时里面的开集是 U_0。Halmos 给出了构造这个 σ-algebra，
也就是我们所说的 Baire sets ，的四条理由：Baire sets 比 Borel sets 简单（前者是后者的子集，
只是把生成 σ-algebra 的 G_δ 型部分拿出来了），而前者的研究有助于后者；Baire measurable
function 使得连续函数（和 topology 相关）仍然还是 measurable；Baire measurable sets
是包含了足够多 topology 相关集合的最小 σ-algebra；欧氏空间中两者一样。

然后引入了所谓的 regular 的概念，类似于 outer measure 和 inner measure，利用
开集定义了集合的 outer regular，而用紧集定义了 inner regular（对于某个特定的测度而言）。
一个集合 regular 就是指它是 outer regular 和 inner regular 的。那么可见这种集合可以从外侧
用开集度量，内侧用紧集度量。利用这两者的对偶性，可证明 outer regular（inner regular）集合序列
的并（交）是 outer reguar（inner regular），而递减（递增）inner regular（outer regular）集列
的并（交）还是 inner regular（outer regular）。继而发现紧集都是 outer regular 当且仅当所有有界
开集是 inner regular，而这两者其一成立也是该测度 regular （σ-algebra 里面集合都是 regular）的
充要条件。利用这个结论，我们进而找到了一些判定 Baire measure regular 和 Borel measure regular
的必要条件，如该测度的 outer measure 和 inner measure 可以用开集、紧集（原来是 ring 里面的任意集合）
替代。同时，在 Borel sets 上的两个 regular 测度（充要条件是紧集的测度和对应 Baire measure 的外测度或者
内测度相等）限制在对应的 Baire sets 上获得的测度如果一样，则原来两个测度也一样。

而将泛函分析与 measure theory 联系起来的，在于对 Borel measure 的 generalization 上。
首先引入了一个所谓 content 的概念，其实是一个集函数，满足非负性、有限、单调、可加、次可加，
定义在紧集集族上，利用 content 可以诱导 outer measure（先定义在 Borel 开集上，而后可以成为
σ-有界集合上的 outer measure），而此 outer measure 对应的 measure 是一个 regular Borel measure。
通过引入 regular content，我们发现对于任意一个 Baire measure 可以找到唯一的 Borel measure 使得
后者在 Baire sets上的限制就是前者。

定义一个线性非负泛函，如果利用这个泛函定义一个集函数，取值为在所有不小于该集合特征函数上函数的
泛函值的下确界，这样一个集函数是一个 regular contents，而由这个 content 所诱导的 Borel measure
满足在该测度下任意有界开集的测度不大于任意一个不小于该开集特征函数的函数的泛函值，任意一个非负函数在
该测度下的积分不大于其泛函值，同时该积分增大任意小量可找到函数使得泛函值小于增大后的积分值，
也就是说该泛函诱导了一个 Borel measure 使得任意函数的泛函值可表达为该函数在此测度下的积分。
这揭示了该空间上任意非负线性泛函可唯一的表示为一个 regular Borel measure。

<未完待续>